Ejercicio 1
Sea $G$ un grupo que contiene un número finito de subgrupos. Demuestre que $G$ es finito.
Solución
Sea $G$ un grupo y $H_1,\; H_2, \; \ldots, H_n$ todos los subgrupos de $G$. Supongamos que $G$ no es finito, entonces
$$
G/H_1
$$
Ejercicio 2
Si $H$ y $K$ son subgrupos normales de $G$, entonces $G/(H \cap K)$ es isomorfo a un subgrupo del producto directo $G/H \times G/K$.
Solución.
Sean $H$ y $K$ son subgrupos normales de $G$, queremos
$$
G/(H\cap K) \cong \mbox{ subgrupo de } G/H \times G/K.
$$
Consideremos la siguiente función:
\begin{eqnarray*}
\varphi : G & \longrightarrow & G/H \times G/K \\
g & \mapsto & (gH, gK)
\end{eqnarray*}
Claramente $\varphi$ es un Isomorfismo. Ahora, por el primer Teorema de Isomorfismos, tenemos que Im$(\phi) < G/H \times G/K$ y
\begin{align*}
\mbox{kern }\varphi &= \{ g\in G \;:\; \varphi(g)=e \}\\
&= \{ g\in G \;:\; (gH,\; gK) = (H,\; K) \}\\
&= H\cap K.
\end{align*}
Así
$$
G/(H\cap K) \cong \mbox{Im }\varphi < G/H \times G/K
$$
Ejercicio 3
Sean $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de índice 2. Demuestre que $H$ es normal.
Solución.
Sean $G$ y $H$ como arriba, esto es $[G:H]=2$. Queremos $H \triangleleft G$. Sea $\varphi$ una función definida de la siguiente manera
\begin{align*}
\varphi : G & \longrightarrow G/H \\
g & \longmapsto gH.
\end{align*}
Notemos que $\varphi$ es un homomorfismo bien definido. Entonces se cumple
\begin{align*}
\mbox{kern }\varphi &= \{ g\in G : \varphi(g) = e \}\\
& = \{ g\in G : gH = H \}\\
& = \{ g\in G : g \in H \}\\
& = H %\triangleleft G
\end{align*}
Por otro lado
\begin{align*}
\mbox{Im }\varphi &= \{ f(g)\in G/H : g\in G \}\\
& = \{ gH \in G/H : g\in G \} \\
& = \{ H,\; g_{_0}H \} = G/H
\end{align*}
Lo anterior es por $[G:H]=2$. Por lo tanto $ H \triangleleft G$
Ejercicio 4
Sean $G$ un grupo, $H \leq G$ tal que $G’ \subseteq H$. Demostrar que $H \triangleleft G$.
Solución.
Sabemos que $G’\triangleleft G$. Si $G’=H$ el resultado se da. De otra manera, como $G’ \subset H$ se tiene $G’ \triangleleft H$. Ahora consideremos lo siguiente: Si $g\in G$, se cumple que $gG’g^{-1}\subseteq G’$. Tomemos $g\in G$ y $h\in H-G’$, entonces …
Ejercicio 5
Sean $H$ y $K$ subgrupos normales de $G$ tales que $K \cap H = \{e\}$. Demuestre que para todos $h \in H$ y $k \in K$, se tiene que $hk = kh$.
Solución.
Sea $H$ y $K$ subgrupos normales de $G$ ajenos. Como $K \triangleleft G$, se tiene que para todo $h\in G$, $hK=Kh$ y en particular si $h\in H$. Entonces
\begin{align*}
hK = Kh \Longrightarrow hk = kh, \; \mbox{ con } k\in K
\end{align*}
Análogamente ocurre cuando consideramos $H \triangleleft G$. Por lo tanto para todo $h\in H$ y $k\in K$ se cumple $ hk = kh$.
