En este ariculo se resulven algunos ejercicio sobre grupos y algunas estrategias para probar si un conjunto con una operación definida es un grupo.

Ejercicio 1

Sea $m$ un entero positivo, $G = \{0, 1, …, m – 1\}$. Se define en G la siguiente operación:
$a \circ b = a + b$, si $a + b < m$; $a \circ b = r$, con $a + b = m + r$, si $b + a \geq m$. ¿Es $(G; \circ)$ un
grupo?

Solución

Veamos si $G$ cumple las propiedades de grupo, esto es:

Cerradura:

Sean $a,b\in G$, tenemos que si $a+b<m$, entonces $a\circ b\in G$. Por otro lado, si $a+b\geq m$, entonces
$$
a\circ b = r = a+b-m \geq m-m \geq 0.
$$
Notemos que $a+b \in \{ 0\;,1\;,\ldots,\; m-1,\; m,\; m+1,\ldots,\;2m-2 \}$, es decir, $a+b\leq 2m-2$. Así,
$$
a\circ b = a+b-m \leq (2m-2)-m \leq m-2.
$$
Por lo tanto la operación $\circ$ es cerrada.

Asociativa

Consideremos $a,b,c\in G$. Si $a+b+c<m$, entonces
\begin{eqnarray*}
a\circ(b\circ c) &=& a \circ (b+c)=a+(b+c)\\
&=& (a+b)+c = (a\circ b) \circ c.
\end{eqnarray*}
Por otro lado, si $m\leq c+b$ y $a+b<m$
\begin{eqnarray*}
a\circ(b\circ c) &=& a \circ (b+c-m) = a + (b+c-m)\\
&=& (a+b) + c-m\\
&=& (a\circ b) + c-m\\
&=& (a\circ b) \circ c.
\end{eqnarray*}
Ahora, si $m\leq c+b$ y $m\leq a+b$
\begin{eqnarray*}
a\circ(b\circ c) &=& a \circ (b+c-m) = a + (b+c-m) -m \\
&=& (a+b-m) + c -m = (a\circ b) \circ c.
\end{eqnarray*}
Por lo tanto, se la asociatividad se cumple.

Existencia del Neutro

Propongamos el neutro como $e=0$, entonces para algún $a\in G$, tenemos
$$
a\circ 0 = a + 0= a = 0+a = 0\circ a.
$$
Por lo que, el neutro existe.

Inverso

Note que el inverso de 0 es 0. Por otro lado, si $a,b\in G$, queremos
$$
a\circ b = 0 \longrightarrow b = m-a \;\; \mbox{ si }\;\; a\neq 0.
$$
Observemos que $b\in G$, puesto que $0 < a < m$, implica $-m< a-m < 0 \Longrightarrow 0<m-a n$. Lo cual contradice nuestra hipótesis. Así, existe un entero positivo $n$ tal que $a^n=e$.

Ejercicio 2

Sea $G$ un grupo y $a$ un elemento fijo de $G$, muestre que $H_a = \{x \in G : xa = ax\}$ es un subgrupo de $G$.

Solución

Basta verificar: (a) Si $x,y\in H_a$, entonces $x y\in H_a$; y (b) Para cualquier $x\in H_a$, tenemos $x^{-1}\in H_a.$
Sean $x,y\in H_a$, sabemos que $ax=xa$ y $ay=ya$. Luego
$$
a(xy)=(ax) y = (xa) y = x(ay) = x(ya) = (xy)a
$$
Por lo tanto $xy\in H_a$.
Sean $x\in H_a$ y $x^{-1}\in G$. Sabemos que $ax=xa$. Entonces
$$
ax^{-1} = e(ax^{-1}) = (x^{-1}x)(ax^{-1}) = (x^{-1}a)(xx^{-1}) = x^{-1}a.
$$
Así $x^{-1}\in H_a$
Por lo tanto $H_a<G$.

Ejercicio 3

Sea $G$ un grupo, $Z(G) = \{x \in G : xg = gx,\forall g \in G\}$. Demuestre que $Z(G)$ es un subgrupo abeliano de $G$ llamado el centro de $G$.

Solución

La demostración de que $Z(G)$ es un subgrupo es análoga a la del ejercicio 5. Solo basta probar que $Z(G)$ es un subgrupo abeliano.
Sean $x\in Z(G)$ y $g$ algún elemento de $G$ (en particular $g\in Z(G)$). Por hipótesis $gx=xg$, como $x,g\in Z(G)$, entonces $xg,gx\in Z(G)$. Por lo tanto $Z(G)$ es un subgrupo abeliano de $G$.

Ejercicio 4

Si $G$ es un grupo de orden par, demuestre que contiene un elemento de orden 2.

Solución

Sea $a\in G-\{e\}$, notemos que
$$
\begin{matrix}
a && a^{-1}\\
\hline
e && e\\
a_1 && a_1^{-1}=a_{j_1}\\
a_2 && a_2^{-1}=a_{j_2}\\
\vdots && \vdots \\
a_{2k-1} && a_{2k-1}^{-1}=a_{j_{2k-1}}
\end{matrix}
$$
Notemos que hay un grupo impar de elementos que se agrupan de dos en dos. Por lo tanto, existe $a$ tal que $a=a^{-1}$, esto es
$$
aa=aa^{-1} \Longrightarrow a^2 = e.
$$
Así, existe un elemento de orden dos en $G$.

Ejercicio 5

Si $H$ y $K$ son subgrupos de índice finito de un grupo $G$, tal que los índices son primos relativos, entonces $G = HK$.

Solución

La demostración se deja al lector. 😀